Efectivamente, la series de televisión QED de la BBC hizo una serie de experientos (parece increíble pero sí: hay quien se ocupa de experimentar con estas cosas), en que una tostada era lanzada muchas veces al aire por varias personas. Como es de esperar, la tostada caía esencialmente con igual probabilidad del lado de la mantequilla o del lado del pan.
A este punto entra en escena Robert A. J. Matthews, un físico matemático que publica en The European Journal of Physics un artículo sorprendente que demuestra que el teorema de la tostada se cumple, y deriva de los principios de la física (Robert A. J. Matthews, "Tumbling Toast, Murphy's Law and the fundamental constants", The European Journal of Physics, 16(1995) 172-6). El tema ha sido tratado tambié por Ian Stewart en su columna en Scientific American ("The Science of Murphy's law", Abril 1997, pp. 72-5) y se puede encontrar en Castellano en: Ian Stewart, Locos Por las Matemáticas, Booklet Planeta, 2005, traducción de Javier García Sanz) ).
La cuestión, oberva Matthews es que el problema parece simétrico mientras en realidad no lo es. En circunstancias normales una tostada no cae porque alguien la tira al aire, sino porque se cae de la mesa. Y en la mesa la tostada siempre está con la cara con la mantequilla hacia arriba. Es esta la asimetría que hace que se cumpla el teorema. Consideremos una tosta que cae de la mesa. En la mesa la tosta está mantequilla arriba y, cayendo, empezará a rotar. Si cayendo de la mesa la tosta da media vuelta, caerá manrtequilla abajo, mientras si da una vuelta, caerá mantequilla arriba.
En general, si la tosta, cayendo, da un número impar de medias vueltas, entonces caerá mantequilla abajo, mientras si da un número par de medias vueltas, caerá mantequillas arriba. Todo está por tanto en determinar cuantas medias vueltas dará una tosta estándar cayendo de una mesa estándar.
Las cantidades relevantes para el análisis de Matthews son ilustradas en la Figura siguiente, donde la tosta es representada en el momento en que se descuelga de la mesa y empieza a caer
Los símbolos representan las cantidades siguientes:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $mg$ | Fuerza de gravedad ($m$ es la masa de la tosta) |
| $F$ | Fricción, intenta impedir que la tosta de caiga |
| $R$ | Fuerza de reacción de la mesa: es la que sostiene la tosta en la mesa |
| $a$ | Motad de la longitud de la tosta (es decir, la tosta tiene longitud $2a$) |
| $\theta$ | Ángulo entre la tosta y la mesa en el momento en que esta se descuelga |
| $\delta$ | Eccentricidad: distancia entre el centro de gravedad de la tosta y la mesa en el momento en que esta se descuelga |
| $\omega$ | Velocidad de rotación de la tosta en el momento en que se descuelga |
En realidad, en sus análisis Matthews no usa el valor absoluto de la ecentricidad $\delta$. Lo que nos interesa es saber que proporción de la tosta sobresale. Por tanto define $\delta=\eta{a}$, con $0\le\eta\le1$. Si $\eta=0$, la tosta empieza a caer cuando su centro de gravedad está en el borde de la mesa; si $\eta=1$, la tosta empieza a caer cuanto $\delta=a$, es decir, cuando la tosta está completamente fuera de la mesa.
La velocidad de rotación de la tosta depende del momento en que esta se descuelga de la mesa, y esto depende (entre otras cosas) de la frucción $F$. Un análisis cuantitativo es el siguiente. Si la fricción de la mesa es muy alta, entonces la tosta deberá sobresalir mucho antes de empezar a caer (es necesario que la fuerza que arrastra la tosta fuera de la mesa sea suficiente como para vencer la fricción que la mantiene pegada a la mesa). En este caso la velocidad angular $\omega$, que depende del momento angular $mg\,a\,\cos(\theta)$ será alta; al contrario, si la fricción es escasa, la tosta caerá en cuanto su centro de gravedad se haya alejado poco de la mesa ($\nu$ pequeño), y, siendo el momento angular menor, la velocidad de rotación será menor.
Matthews determina que la relación entre la velocidad de rotación y las demás cantidades es:
\begin{equation} \omega^2 = \frac{6g}{a} \frac{\eta}{1+3\eta^2} \cos{\theta} \end{equation}
La velocidad depende del ángulo a que la tosta se desconecta de la mesa. Si $\mu$ es el coeficiente de fricción, entonces la tosta se descuelga cuando el ángulo es
\begin{equation} \theta_0 = \tan^{-1} \frac{\mu}{1+9\eta^2} \end{equation}
Juntando todo, Matthews determina cuanto tiene que sobresalir la tosta para caerse con una velocidad de rotación suficiente para que al final de la caida la parte con la mantequilla quede arriba. Define $Q=h/a$ (el ratio entre la altura de la mesa y la longitud de la tosta) y $\alpha=\pi^2/12(R-2)$. Con estas definiciones, la tosta cae mantequilla arriba si, en el momento de la caída sobresale de
\begin{equation} \eta > \frac{1 - \sqrt{1-12\alpha^2}}{6\alpha} \end{equation}
En el caso de una tosta y una mesa de dimensiones normales, tenemos $h\sim{75}\mbox{cm}$ y $2a\sim{10}\mbox{cm}$, que nos da
\begin{equation} \eta>0.6 \end{equation}
Este es el valor crítico: si la tosta, en el momento de la caída, sobresale m\'as de un 60% de su media longitud, caerá mantequilla arriba; si sobresale menos caerá mantequilla abajo. Midiendo el valor de $\mu$ y haciendo experimentos, Matthews nota que los valores de $\eta$ en que la tosta se desconecta de la mesa son $\eta\sim{0.02}$ para el pan y $\eta\sim0.015$ para el pan tostado. Ninguno de los dos puede aguantar una eccentricidad de $0.6$: en ambos casos la tosta cae antes de haber conseguido una eccentricidad tal como para generar una velocidad angular $\omega$ que le permita de caer mantequilla arriba.
Murphy tenía razón.
En este análisis, Matthews considera que la velocidad horizontal de la tosta es cero. Esto, hablando estrictamente, no es posible: al principio la tosta está en la mesa y, si cae, es porque se ha acercado al borde, por tanto tiene que tener cierta velocidad horizontal. En un apartado del artículo se analiza el efecto de la velocidad horizontal. Resulta que para velocidades pequeñas el resultado anterior sigue válido. Es sólo si la velocidad horizontal es grande (mayor de unos $1.6m\cdot s^{-1}$) que su efecto empieza a hacerse sentir. Si la velocidad es muy grande, su efecto domina la dinámica, y la tosta caerá mantequilla abajo o mantequilla arriba con igual frecuencia.
Parece, por tanto, que si uno se da cuenta que la tosta está a punto de caer, lo mejor que puede hacer es darle un golpe muy fuerte con la mano: de esta manera maximizará la probabilidad que caiga mantequilla arriba.
En la última parte del artículo Matthews encuentra una rlación sorprendente entre la ley de Murphy y las constantes fundamentales de la naturaleza. Imaginemos unos seres inteligentes que viven en un planeta distinto de la tierra (lo suficientemente inteligentes como para hacer tostas con mantequillas y tener mesas). Vale para ellos la ley de Murphy? Podemos asumir que la gravedad es la misma que en la tierra (si no, todos los valores son simplente multiplicados por una constante, y se puede demostrar que el resultado final no cambia), por tanto todo depende de la altura de las mesas y esto, por otro lado, depende de la altura de estos seres.
Hay razones para asumir que el cerebro de estos seres está en la parte más alta de su cuerpo (en todos los animales complejos los ojos están cerca del cerebro, y hay muchas ventajas en tener los ojos en la parte más alta del cuerpo). Matthews modela estos seres como un cilindro con una esfera encima formada por algún tipo de polímero. La altura del ser debe ser tal que, en caso de caída, la probabilidad de romperse la cabeza es razonablemente baja. Jugando con las constantes de la naturaleza (desde la estructura fina de los electrones al radio de Bohr) Matthew concluye que estos seres no pueden ser más alto de tres metros. Notamos que el ser humano más alto de que se haya noticia (Robert Wadlow, 1918-1940) era alto 2.72m, respetando el límite.
Considerando que la altura de una mesa es más o menos la mitad de un ser humano, Matthews estima que un ser inteligente tiene una mesa alta como micho 1.5m. Aplicando otra vez el razonamiento anterior encuentra que una mesa de 1.5m es insuficiente para que la tosta haga una rotación que le permita caer mantequilla arriba.
La ley de Murphy no nos glpea sólo a nosotros: cualquier ser inteligente en el universo verá que sus tostas caen mantequilla abajo. Vale la pena reportar aquí la conclusión del artículo de Matthews:
We end by noting that, according to Einstein, God is subtle, but He is not malicious. That may be so, but His influence on falling toasts clearly leaves much to be desired.
