Bastian Contrario

Wednesday 20 March 2024

Yendo al trabajo

¡Qué rollo! Cada mañana este tren está más lleno. Hoy también me tocará quedarme de pie todo el rato. Claro que nadie bajará hasta el centro, y allí ya me va a dar igual, que yo también bajo. 

No es que sea la única a quedarme de pie, claro. De hecho somos más los de pie de los sentados. Y menos mal que estamos todavía casi en invierno. Cuando el calor empiece de verdad, será aún peor. Por los menos antes había la costumbre de que a una señora se le cedía el asiento, pero hoy, ni hablar: todos allí leyendo para no mirar a los que estamos de pie y fingir que ni existimos, o bien escuchando música con los auriculares puestos, como este chico de aquí que, solo de ver cómo anda vestido parece que lo hayan echado del circo porque asusta a los animales.

Mira a este tío con traje gris. Seguro que trabaja en un banco o algo así. Director, como mínimo, a ver como va vestido. No sé qué es lo que está leyendo, con todos esos gráficos y numeritos, no se entiende nada. Pero se lo podría leer de pie, digo yo. Y es que se le ve tan joven y atlético, mientras a mí se me cansan las piernas. Cada vez que empiezo el día así, luego por la noche, después de tantas horas limpiando oficinas, las piernas se me ponen fatal y casi no puedo levantarme de delante de la tele para irme a la cama.

Y estos chicos de aquí que no han parado de besarse desde que he subido, que falta poco para que a ella la lengua de él le salga por una oreja. Sentada en su regazo y todo. Que, ¿no se dan cuenta que es mucho más fácil besarse de pie?

¿Y este joven? Al verlo se diría que tiene más o menos le edad de mi hijo. Parece un buen chico y ni está vestido de criminal como el de los auriculares. Pero, que cara más rara tiene. Que expresión tan seria. Está allí sentado y nos mira a todos y a cada cara que mira me parece que la suya se le va poniendo más triste. Pero, ¿Por qué? Se ve que es un chico serio, tal vez demasiado serio: la rubia a su lado no le quita los ojos de encima; se ve que se muere de ganas de que él le hable, pero él, nada: ni parece darse cuenta de que existe. Sigue mirandonos a todos nosotros, como si tratara de sacarnos un secreto, como si nos estuviera haciendo una pregunta muda y solo esperara que alguien le contestara para tomar una decisión que él quizá no tiene el valor de tomar. ¿Pero qué buscas, chico? Te veo tan solo, tan perdido. Tendría ganas de acercarme y decirte que no te preocupes, que la vida no es tan mala, que a veces se pinta mala cara, pero es un juego, un engaño que la vida nos hace para hacerse apreciar más, para que la sigamos y la deseamos más. 

Ahora está mirando a esos de los besos ¡Qué cara tan triste se le ha puesto! Tiene los ojos mojados, como si la vista del amor le doliera y le hiciera llorar. Quizá no tiene novia o su novia lo ha dejado. Tendría ganas de decirle algo. De decirle que no se preocupe, que el amor viaja por caminos infinitos, que a veces no se da prisa, pero tarde o temprano te alcanza.

Mírame a mí, le diría, que joven no soy y guapa tampoco. Pero sé que esta noche llegaré a casa y después de la cena me sentaré frente a la tele al lado de mi marido. No hablaremos mucho, eso no. Sin embargo, después de tantos años de casados las palabras ya no sirven. Nos sentaremos juntos y yo me acercaré a él. Al principio él no me hará caso, empeñado controlar el mando a distancia, pero en un rato, casi sin darse cuenta, me abrazará. Lo hace cada noche. Yo sentiré su calor, el cansancio se disolverá y en un rato me dormiré, tranquila como una niña. Él me regaña, dice que si estoy cansada debería irme a la cama, pero, sé que tenerme allí le da placer y cuando ya me cree dormida sonríe secretamente. ¿Lo ves, chico? A uno no le hace falta mucho. El amor es muchas cosas: a veces es besarse como locos en un tren cualquiera, a veces es la certidumbre de un cuerpo que te esperará por la noche frente a la tele para darte calor. Tú también encontrarás tu manera de querer. Esto le diría.

Y, ¿Por qué ha cambiado su cara ahora? Se ha hecho más dura, más madura, como si el niño hubiera envejecido de repente, como si al fin hubiera tomado la decisión que no tenía el valor de tomar. Cuidado, hijo, con las decisiones improvisadas e importantes: a veces una decisión tomada en un tren te persigue el resto de tus días.

¿Dónde estamos? No falta mucho. Y el chico baja ¡Qué suerte!, por lo menos, podré pasar los últimos minutos sentada. Adiós, hijo, y no seas tan serio. ¿Lo ves? Incluso yo, que me quejo siempre del tren tan lleno y de la gente, admito que, en el fondo, mi vida no está tan mal y que, al fin y al cabo, soy feliz. Sí...hacía mucho tiempo que no lo había pensado, que no se me había ocurrido, pero es la verdad: soy feliz. Incluso con mi trabajo sin avenir y las piernas que se me ponen fatal, y...

Pero ¿que es esto? Vaya... mira, al niño se le ha olvidado la mochila. Espero que no contenga nada que le sirva. Bueno, no te preocupes, en cuanto baje del tren la entregaré al personal de la estación y cuando te des cuenta que la has perdido, sabrás dónde ir a buscarla. Debe estar muy preocupado y muy perdido en sus pensamientos oscuros. Ya lo veo, cuando se dé cuenta de haberla olvidado en el tren la dará por perdida. Con los tiempos que corren, pensará, quién la encuentre se la va a quedar.

Pero no te preocupes. La he encontrado yo y no te la robaré: mañana con una llamada la puedes recuperar. Es mi regalo, hijo. Mi regalo porque al verte con esa cara tan joven y tan seria me he dado cuenta, por primera vez en no ni sé cuantos años, que, simplemente, soy feliz.  

Tendría ganas de gritarselo a todo el mundo: “Hoy, 11 de marzo, en este tren de Cercanías, a unos minutos de Atocha, un niño ha perdido la mochila y me ha recordado que soy feliz”.

 

San Diego, Noviembre 2005

Thursday 14 December 2023

La amnistía y el estado de derecho

 Decir que la ley de amnistía está generando controversia es tan inadecuado como decir que la bomba atómica fue un petardo. Aún si no consideramos los violentos con brazo levantado y saludo franquista que aparecen por la noche en Ferraz (mejor olvidarnos: no es gente que vale la pena recordar), la manifestación multitudinaria y perfectamente legítima del domingo 12 de Noviembre señala que mucha gente rechaza esta amnistía. Lo que deja desconcertados son las razones esgrimidas por esta oposición, razones que, en el mejor de los casos, mezclan niveles que sería oportuno no mezclar.

Olvidémonos de las palabras de muchos de los miembros del PP que muchas veces ni hablan de la amnistía y reflejan más bien la rabia de un partido que esperaba poder formar gobierno, no lo ha conseguido y todo lo que sabe hacer es insultar a quien sí consigue formar gobierno. Olvidemos las declaraciones de VOX, vulgarmente golpistas y que, como casi siempre es el caso con VOX, apelan más a la rabia que a la razón. Aún así hay muchas voces que hablan directamente y claramente en contra de la amnistía. De esta oposición quiero hablar.

Quiero empezar aclarando un punto: no soy ni abogado ni juez, no he cursado derecho y no soy experto en cuestiones legales. Los que expongo son simplemente los razonamiento de una persona cualquiera que ha leído algo sobre el tema. Que cada uno lea mis argumentos y le asigne el peso (o la falta de peso) que le parezca más oportuna. 

O, mejor dicho, de una parte de esta oposición: de los argumentos legales. Estar políticamente en contra de esta específica amnistía es claramente un punto de vista legítimo, y todo el mundo tiene todo el derecho de expresarlo públicamente en manifestaciones, incluso con tonos duros. Pero muchas opiniones no se limitan a esto. Hay gritos de "traidor" basados en la convicción que el amnistía quiebra el estado de derecho y la división de poderes, que se trata de una medida inconstitucional. Algunos representantes políticos (ya conocidos por sus opiniones estrafalarias) han dicho que la amnistía transforma España en una dictadura. 

Se trata de afirmaciones muy graves, que van allá de un juicio político, afirmaciones que una persona razonable debería justificar basándose en la ley y en la constitución.

Quiero exponer aquí mi análisis de la cuestión, con la advertencia de que no soy ni un abogado ni un experto en ley. Se trata de la opinión de un profano, que hay que tomar con todas las precauciones del caso. Intentaré que mi razonamiento sea lo más claro y transparente posible, así que cada uno pueda decidir por su cuenta el peso que merece. El argumento legal, claramente, se refiere a la amnistía qua amnistía. La cuestión es si la amnistía como instrumento es constitucional o si es algo que quiebra el estado de derecho. Si la amnistía, per se, es legítima, entonces el único argumento que se puede avanzar en contra de _esta_ amnistía es político. Para el argumento legal el tipo de amnistía, los delitos que forman objeto de ella, o incluso las motivaciones que han llevado el Presidente del Gobierno a concederla no son importantes.

¿Es la amnistía algo en contra del estado de derecho, algo que viola la separación de poderes? Algo que me hace pensar que no es que países con principios constitucionales muy parecidos a los nuestros, tales como Italia o Francia, han concedido amnistías, y en ninguno de estos países se ha considerado que representara un ataque al estado de derecho. En el plano metalegal (es decir, de los principios constitucionales que deben inspirar las leyes), no hay contradicción entre principios constitucionales muy parecidos a los nuestros y la existencia de la institución de la amnistía. Países como Italia y Francia tienen el mismo principio de separación de poderes que España, por tanto no parece haber contradicción entre la existencia de amnistías y estos principios de separación de poderes. Resulta complicado por tanto decir que la amnistía viola los principios inspiradores de la constitución. 

La cuestión de si la amnistía quiebra, en un sentido no metalegal sino técnico, la separación de poderes es más compleja. El papel del poder judicial es juzgar las violaciones de la ley. Es decir, los jueces trabajan en un ámbito cuya limitación son las leyes que emanan del poder legislativo (que es, como en todas las democracias parlamentaristas, la única emanación directa de la voluntad popular). La ley de amnistía emana del poder legislativo, por tanto constituye uno de los límites dentro de que se mueve la justicia. Una amnistía no invalida de ninguna manera el trabajo de los jueces, así como no lo invalida el indulto. Se trata de una medida excepcional que el legislativo, en su potestad, decide en ciertas circunstancias aplicar. 

Para hacer un ejemplo un poco esquemático, consideramos todos los países que en algún momento han despenalizado el uso de las drogas. Esta despenalización no invalida el trabajo de los jueces que en momento anterior han condenado a alguien por uso o venta de droga: esas condenas se han dado en el marco de una legislación existente en el momento en que se han conminado pero, en un momento dado, la ley ha cambiado. Lo mismo, me parece, sucede con la amnistía para ciertos delitos: no invalida el trabajo de los jueces ni pone en duda su autonomía a la hora de conminar esas condenas. Simplemente cambia el marco legal en que los jueces se mueven. 

La amnistía es, en cierto sentido, una intromisión del ejecutivo en el poder judicial, esto sí. Pero también los es el indulto, que nadie tacha de anticonstitucional o acusa de quebrar la separación de poderes. Se trata de medidas excepcionales que la legislación de muchos países democrático prevé para casos excepcionales.

Evito hablar de argumentos absurdos tales como "la amnistía significa admitir que el estado ha sido represor en Cataluña" o "la amnistía significa pedir disculpa a unos criminales". Estos argumentos no tienen, claramente, ningún sentido: una medida de gracia tales como la amnistía es un perdón, y perdonar no implica que lo que perdonamos no haya existido. Al contrario: si yo perdono a alguien esto no implica que este alguien no haya hecho nada malo. De hecho lo perdono justamente porque ha hecho algo malo; en caso contrario, no haría falta el perdón. Estos, claramente, son argumentos éticos que nada tienen que ver con el estatus legal de la amnistía.

Queda una cuestión: si la experiencia de otros países nos indican que una amnistía no viola los principios inspiradores de la constitución, queda el problema de si la amnistía viola la letra de la constitución que, legalmente, es determinante. La amnistía no aparece en nuestra constitución por tanto la constitución no la prohíbe. Los argumentos en favor de la ilegalidad se basan principalmente en lo que la constitución dice sobre el indulto y, principalmente, de una frase del Art. 67 de la constitución, que trata de las funciones del Rey. En el punto i) se define como función del Rey


Ejercer el derecho de gracia con arreglo a la ley, que no podrá autorizar indultos generales.


El argumento es que si la constitución no permite indultos generales, tampoco permite amnistía que, por su naturaleza, son generales. El principio aquí parece ser que "si se prohíbe lo menos, también está prohibido lo más". Se trata de un punto que ya ha rechazado el Tribunal Constitucional en una sentencia de 1986. La sentencia se refiere a un artículo que se había añadido en 1984 a la amnistía de 1977. Estas fechas son importantes en cuanto, a pesar de que la amnistía de 1977 fuera pre-constitucional, el artículo que se juzga es posterior a la constitución, y la sentencia hace una valoración bastante general del encaje de una medida de amnistía en la constitución. La sentencia afirma que


es erróneo razonar sobre el indulto y la amnistía como figuras suya diferencia es meramente cuantitativa, pues se hallan entre sí (sic.) en una relación de diferencia cualitativa.


Y afirma poco más adelante que el legislador "podía precisar este régimen jurídico, pues no hay restricción constitucional directa sobre esta materia".

Loa argumentos legales de quien afirma que la amnistía, en cuanto amnistía, es inconstitucional o, peor, es un ataque a los principios democráticos son, por tanto, extremadamente débiles. A menos de no querer implicar que media Europa vive en regímenes dictatoriales y querer ignorar opiniones pasadas del Tribunal Constitucional, es difícil sostener esta tesis.

Quedan, claramente, las objeciones políticas. Estas, que uno las comparta o no, son plenamente legítimas: aún si la amnistía, qua amnistía, es acorde a nuestros principios constitucionales, uno puede legítimamente opinar que esta amnistía es políticamente condenable. Una opinión así es parte del normal debate político en un estado democrático, pero no implica en ningún caso que la amnistía represente una ruptura con los principios democráticos y constitucionales.


Sunday 16 July 2023

Como hacer bien las cosas y (quizás) perder las elecciones

La última legislatura ha sido caracterizada por una situación tan compleja que resulta inédita, y la acción del gobierno ha sido claramente determinada en gran parte por esta situación. El gobierno de coalición tomó posesión en enero de 2020, y a finales de Febrero se declaró la emergencia por coronavirus. El año 2020, y buena parte de 2021, fueron dominados por las medidas que fueron tomadas para enfrentarse a la emergencia sanitaria. Más o menos todos los gobiernos de Europa han tomado las mismas medidas, pero España tuvo el problema añadido de una caída muy grande del PIB, debida a nuestra dependencia del turismo y a la crisis del turismo internacional, que no se recuperó hasta 2022.

En 2021 otros problemas se añadieron, desde la borrasca Filomena a principio del año hasta el volcán de La Palma. En 2022 la rápida recuperación de la economía mundial causó una crisis de suministro que causó un primer aumento de la inflación, situación empeorada por la guerra en Ucrania y el consecuente aumento de la energía.

Decir que han sido años complicado es poco.

A pesar de esto, las previsiones catastrofistas (y, a menudo, interesadas) de las casandras locales no se han cumplido. Al contrario, hay muchas señales positivas. la inflación en España es de las más bajas de la Union Europeas, gracias, en parte, a la excepción Ibérica y a nuestra fuerte producción de energía renovable. Seguimos siendo el país con el paro más alto de Europa pero, si en 2018 el paro en España estaba 15 puntos por encima de la media Europea, hoy está 6 puntos. El número de afiliados a la seguridad social es el más alto de la serie histórica y, para citar un datos objetivo, en el primer trimestre de 2023 (un trimestre normalmente malo para la economía española, especialmente si, como este año, la semana santa cae en abril), el número de horas trabajadas ha sido de 660.000, el mejor dato de todos los semestre desde 2008. Y todo esto en una situación de inflación que, normalmente, destruye empleo.

Las empresas no siempre han ayudado: a pesar de las ganancias record de 2022, en España los sueldos en el sector privado han perdido poder adquisitivo. De hecho, España es al país donde los trabajadores han perdido más poder adquisitivo de Europa. Por otro lado, en los últimos años se han alcanzado muchos acuerdos con las partes sociales, cosa que no sucedía desde 2012, y se puede esperar que el reciente acuerdo de subida de sueldo ayude a paliar el problema.

Se han aprobado leyes importantes, desde la ley de eutanasia, a la ley de cadena alimentaria, la ley start-up, la ley de violencia de género, etc.

Cualquier gobierno que, en Europa, hubiera conseguido esto en unos años tan difíciles, ganaría las elecciones por goleada. Pero en España la situación es tan incierta que es posible que en Noviembre la derecha vuelva al poder. Algo que en el resto de Europa resulta difícil de comprender.

 

Se trata, indudablemente, de un efecto de muchas causas, pero una muy importante parece ser lo que llamo el "efecto Baudrillard": la desconexión entre la realidad y la percepción de la realidad. Su famoso "La guerre du golfe n'a pas eu lieu" sostiene, esencialmente, que nuestro acceso a la realidad es siempre mediado. ¿Qué hemos visto de la guerra del golfo (Baudrillard escribe en los años '90 y se refiere a la primera)? Un misil que destruye una chimenea. Esta es nuestra imagen de la guerra, una imagen estéril que no se corresponde al horror de la guerra real.

Nuestro acceso a la realidad política de un país es mediado por la prensa, la televisión, las redes sociales. Y sabemos muy bien que en este momento estos instrumento muchas veces distorsionan la realidad más que reflejarla.

Hay varias maneras de distorsionar la realidad. Una, muy sencilla y banal es la difusión de bulos, es decir, la difusión a sabiendas de noticias falsas. El ejemplo paradigmático de esto es el informe PISA sobre la financiación de Venezuela a Pablo Iglesias y a Podemos. La fuerza de estos bulos está en que, sorprendentemente, siguen funcionando incluso después que se demuestra su falsedad. Todavía hoy hay gente convencida que Venezuela financió a Podemos, a pesar de haber demostrado la falsedad de las acusaciones.

En esto ayuda un fenómeno que podríamos llamar la "modulación" de las noticias. Muy sencillamente: la noticia del informe PISA sale en primera página a toda página, mientras la noticia de su falsedad sale a página 15 en una columna (o el equivalente para las versiones electrónicas y televisivas).

En otras ocasiones se recurre a un mixto de falsedad y ocultación. Cuando se habla del paro, la derecha muchas veces introduce el tema de los fijos discontinuos, insinuando que estos contratos invalidan las cifras del paro. Se trata de ocultación: el paro se mide, desde siempre, como el número de personas que buscan trabajo. De la misma manera que se habla ahora se habría podido decir, hacia 2014-2016, que parte de la "bajada del paro" de esa época se debía a las personas que se iban del país o que, no teniendo ya prestaciones, renunciaban a inscribirse en las listas. Notamos que cuando se dan estas noticias no se usan nunca cifras. De hecho, la cifra del número de horas trabajadas desmiente estos bulos. A veces estos bulos se apoyan con declaraciones claramente falsas, como la que la UE conoce las cifras reales del paro y ha desmentido el gobierno. En realidad, un ojo a los datos de la UE revelan que las cifras que da para el paro en España son las misma que da el gobierno.

Si ocultar es difícil, otro recurso muy utilizado es hablar de otra cosa. Es fácil darse cuenta que en su discurso público el PP no dice esencialmente nada. Todo se reduce a descalificaciones personales sobre varios miembros del gobierno, a hablar de "eliminar el Sanchismo", o a insultos genéricos a la izquierda. Si todo falla, siempre hay el atout de ETA. El punto álgido de esta situación la encontramos en Madrid, donde la Presidente de la comunidad no habla prácticamente nunca de Madrid, no presenta un plan, una visión de la ciudad, no presenta un programa. En su lugar, fomenta el enfrentamiento y habla más del gobierno de España que de su comunidad.

Esta estrategia no sería posible sin la participación, más o menos consciente, de los medios de comunicación. A veces se trata de una colaboración consciente, dictada por intereses más o menos ocultos, como es el caso de la presentadora de un programa muy conocido que ha hablado mucho del problema de la "ocupación", magnificándolo mucho más allá de su impacto real, criticando la ley de vivienda como una ley "comunista", y que resultó ser propietaria de decenas de pisos turísticos. A veces se trata simplemente del mecanismo de la televisión unido a una preocupante ganas de "morbo" por parte de la gente: el enfrentamiento "vende" más que el debate inteligente.

Quizás este es el verdadero problema: mucha gente ya no quiere ver un debate racional e inteligente, prefiere el grito y el enfrentamiento. Se prefiere quien presenta un culpable a quien analiza problemas complejos. Se prefiere la acusación sencilla al análisis seria de los datos. El problema, como a menudo sucede, es cultural. Hasta que nuestra cultura cambie, hasta que nos hagamos más preparado a analizar las cosas y a enfrentarnos a argumentos complejos y no emocionales, la estrategia de la derecha seguirá funcionando.

 

Friday 16 June 2023

La necesidad de la unidad para ganar elecciones en España

En España, en las elecciones, la asignación de escaños se hace usando un método conocido como "método d'Hondt", nombrado en honor a su creador, el matemático Belga Victor D'Hondt, que lo creó en 1878 . Se habla mucho de este método, de sus ventajas y de sus problemas, pero no todos saben exactamente como funciona. No es un método complicado: sólo necesita unos sencillos cálculos.

La mejor manera para entenderlos es quizás con un ejemplo. En una elección se presentan cuatro partidos, que llamaremos A, B, C, D. En las elecciones se asignan 11 escaños. Supongamos que los partidos han conseguido los votos siguientes:

A: 90000
B: 50000
C: 20000
D: 5000

Pongamos estos valores en una lista:

A B C D
90000 50000 20000 5000

El partido que tiene más votos es el partido A. Asignamos un escaño al partido A y dividimos su número de votos por dos. Ahora tenemos una situación que podemos resumir como sigue:
A B C D Escaño
90000 50000 20000 5000 A
45000 50000 20000 5000

En la primera fila hemos indicado que hemos asignado un escaño al partido A, y en la segunda fila hemos puesto el resultado de la división. Ahora el máximo número de votos los tiene el partido B. Asignamos un escaño a B, y dividimos su número de votos por dos:
A B C D Escaño
90000 50000 20000 5000 A
45000 50000 20000 5000 B
45000 25000 20000 5000

Ahora, otra vez, el partido A es el que tiene más votos. Asignamos un escaño al partido pero esta vez ponemos en la lista su número de votos dividido por tres:
A B C D Escaño
90000 50000 20000 5000 A
45000 50000 20000 5000 B
45000 25000 20000 5000 A
30000 25000 20000 5000

Otra vez, el máximo de votos lo tiene el partido A: le asignamos un escaño y remplazamos el valor con su número de votos dividido por cuatro:
A B C D Escaño
90000 50000 20000 5000 A
45000 50000 20000 5000 B
45000 25000 20000 5000 A
30000 25000 20000 5000 A
22500 25000 20000 5000

Ahora el máximo lo tiene B, le asignamos un escaños y ponemos en la lista sus votos divididos por tres... seguimos así hasta haber asignado todos los escaños (10, en este caso). El resultado final es el esquema siguiente:
A B C D Escaño
90000 50000 20000 5000 A
45000 50000 20000 5000 B
45000 25000 20000 5000 A
30000 25000 20000 5000 A
22500 25000 20000 5000 B
22500 16667 20000 5000 A
18000 16667 20000 5000 C
18000 16667 10000 5000 A
15000 16666 10000 5000 B
15000 12500 10000 5000 A
12857 12500 10000 5000 A

El partido A ha conseguido 7 escaños, B ha conseguido 3, C ha conseguido 1 y D no ha conseguido ninguno.

Hasta ahora todo bien, pero ahora empiezan los problemas. Supongamos que los partidos B y C se unen, y suman sus electores. Ahora tenemos sólo tres partidos, que consiguen los votos siguientes:

A: 90000
BC: 70000
D: 5000

Si aplicamos el método que acabamos de usar, conseguimos la tabla siguiente:

A BC D Escaño
90000 70000 5000 A
45000 70000 5000 BC
45000 35000 5000 A
30000 35000 5000 BC
30000 23333 5000 A
22500 23333 5000 BC
22500 17500 5000 A
18000 17500 5000 A
15000 17500 5000 BC
15000 14000 5000 A
12857 14000 5000 BC

Ahora el partido A consigue 6 escaños, el partido BC consigue 5 y el partido D, otra vez, no consigue ninguno.

Los dos partidos, B y C, presentándose separadamente conseguían, entre los dos, cuatro escaños. Si se unen, aún si el número total de votos no cambia, consiguen cinco. Han ganado un escaño simplemente por presentarse juntos. Al mismo tiempo el partido A, con el mismo número de voto y el mismo porcentaje respeto al número total, ha perdido un escaño simplemente porque dos partidos se han unido, incluso si el número total de votos que han conseguido no cambia. Este es el efecto de ventaja para los grandes partidos de que se habla cuando se menciona el método d'Hondt.

Hay que remarcar que, en las elecciones en España, este no es el factor más importante que favorece los grandes partidos. La manera en que se recuperan los votos perdidos tiene una influencia mucho más grande. En este caso, por ejemplo, el partido D no ha conseguido escaños dado que sólo tiene 5000 votos. Sin embargo, entre todas las circunscripciones el partido podría acumular un número considerable de votos y aún así nop tener ningún escaño.

Por esto se considera que en el caso de la comunidad de Madrid, que tiene una sola provincia y una sola circunscripción, la elección es esencialmente proporcional. También contribuye a esto el número relativamente elevado de escaños: Madrid tiene 136 escaños, uno cada 48.000 habitantes, mientras que el congreso español, con 350 escaños, tiene uno cada 134.000 habitantes. Es posible ver que el efecto de ventaja que hemos considerado aquí es menor si en la elección se asignan muchos escaños comparados con el número de electores.

El peligro, en Madrid, es constituido por el alto umbral de entrada: el 5%, mucho más alto que el 3% común en otras comunidades. En las elecciones de Madrid de 2023 el PP ha conseguido la mayoría absoluta con 71 escaños, nuy por encima de los 68 que representan el 50% de la asamblea. Por otro lado, el partido ha recibido el 47% de votos (de hecho: 50.000 votos menos que en 2021, cuando no obtuvo la mayoría absoluta). La diferencia ha sido que en 2023 Podemos no ha alcanzazo el 5% necesario para entrar en el parlamento, y sus votos han ido al ganador, es decir, al PP. Esto ha hecho que con menos votos y una participación más alta el PP haya conseguido más escaños.

It divididos a las elecciones es un error que en España se paga muy caro.

Aun así, el efecto es real, y contribuye a penalizar los partidos pequeños. Por esto, en muchos países de Europa se usa un método modificado en que en lugar de dividir por 2, 3, 4,... se divide por 3, 5, 7,... consiguiendo un reparto más proporcional de los escaños.

Si el método d'Hondt tiene este tipo de problemas, uno se puede preguntar porqué no usamos uno mejor. Hasta nos podemos preguntar si existe un método que asigna los escaños de una manera que refleja perfectamente los votos. Resulta que esto es imposible, y nos lo impide un teorema matemático, el teorema de Arrow. El teorema se refiere a decisiones en que cada persona puede extresar una lista de preferencias entre alternativas, pero se extiende fácilmente a sistema de votos. Al teorema dice que no existe ningún sistema de ordenación de preferencias que cumpla las siguientes cinco condiciones:
  1. No-dictadura: se tienen en cuenta los deseos de todos lso electores;
  2. Eficiencia de Pareto: las preferencias unánimes son respetadas: si todos los electores prefieren el candidato A al candidato B, el candidato A gana;
  3. Independencia de las alternativas irrelevantes: si se elimina un candidato, el orden de los otros no debe cambiar. Si el candidato A es preferido frente al candidato B y existe otro candidato C, la eliminación de C no cambia las cosas: A sigue siendo elegido frente a B.
  4. Dominio sin restricciones La votación tiene que tener en cuenta todas las preferencias de los electores;
  5. Orden social: cada persona debe tener la libertdad de ordenar sus preferencias como quiera.
Se trata de condiciones muy razonables, algo que nos parece normal pedir a un sistema de elección. Pero el teorema dice que no existe ningún sistema de elección que respete estas cinco condiciones. El método d-Hondt, por ejemplo (así como casi todos los métodos existentes) no cumple la condición 3: Independencia de las alternativas irrelevantes.

Lamentablemente, el sistema perfecto no existe: hay que aprender a convivir con la imperfección.

Friday 12 May 2023

La ley de Murphy y las constantes fundamentales

Una de las formas en que se expresa la ley de Murphy es el famoso "teorema de la tostada" que recita: una tostada siempre cae al suelo del lado de la mantequilla. A primera vista parece ser una frase divertida pero sin rescontro en la realidad. La tostada es, esencialmente, simétrica: el peso de la mantequilla es despreciable respeto al de la tostada (a menos que uno no quiera serios problemas de colesterol), por tanto no hay ninguna razópara pensar que la tostada tenga que caer más de un lado que de otro.

Efectivamente, la series de televisión QED de la BBC hizo una serie de experientos (parece increíble pero sí: hay quien se ocupa de experimentar con estas cosas), en que una tostada era lanzada muchas veces al aire por varias personas. Como es de esperar, la tostada caía esencialmente con igual probabilidad del lado de la mantequilla o del lado del pan.

A este punto entra en escena Robert A. J. Matthews, un físico matemático que publica en The European Journal of Physics un artículo sorprendente que demuestra que el teorema de la tostada se cumple, y deriva de los principios de la física (Robert A. J. Matthews, "Tumbling Toast, Murphy's Law and the fundamental constants", The European Journal of Physics, 16(1995) 172-6). El tema ha sido tratado tambié por Ian Stewart en su columna en Scientific American ("The Science of Murphy's law", Abril 1997, pp. 72-5) y se puede encontrar en Castellano en: Ian Stewart, Locos Por las Matemáticas, Booklet Planeta, 2005, traducción de Javier García Sanz) ).

La cuestión, oberva Matthews es que el problema parece simétrico mientras en realidad no lo es. En circunstancias normales una tostada no cae porque alguien la tira al aire, sino porque se cae de la mesa. Y en la mesa la tostada siempre está con la cara con la mantequilla hacia arriba. Es esta la asimetría que hace que se cumpla el teorema. Consideremos una tosta que cae de la mesa. En la mesa la tosta está mantequilla arriba y, cayendo, empezará a rotar. Si cayendo de la mesa la tosta da media vuelta, caerá manrtequilla abajo, mientras si da una vuelta, caerá mantequilla arriba.

En general, si la tosta, cayendo, da un número impar de medias vueltas, entonces caerá mantequilla abajo, mientras si da un número par de medias vueltas, caerá mantequillas arriba. Todo está por tanto en determinar cuantas medias vueltas dará una tosta estándar cayendo de una mesa estándar.

Las cantidades relevantes para el análisis de Matthews son ilustradas en la Figura siguiente, donde la tosta es representada en el momento en que se descuelga de la mesa y empieza a caer

Los símbolos representan las cantidades siguientes:

Símbolo Significado
$mg$ Fuerza de gravedad ($m$ es la masa de la tosta)
$F$ Fricción, intenta impedir que la tosta de caiga
$R$ Fuerza de reacción de la mesa: es la que sostiene la tosta en la mesa
$a$ Motad de la longitud de la tosta (es decir, la tosta tiene longitud $2a$)
$\theta$ Ángulo entre la tosta y la mesa en el momento en que esta se descuelga
$\delta$ Eccentricidad: distancia entre el centro de gravedad de la tosta y la mesa en el momento en que esta se descuelga
$\omega$ Velocidad de rotación de la tosta en el momento en que se descuelga

En realidad, en sus análisis Matthews no usa el valor absoluto de la ecentricidad $\delta$. Lo que nos interesa es saber que proporción de la tosta sobresale. Por tanto define $\delta=\eta{a}$, con $0\le\eta\le1$. Si $\eta=0$, la tosta empieza a caer cuando su centro de gravedad está en el borde de la mesa; si $\eta=1$, la tosta empieza a caer cuanto $\delta=a$, es decir, cuando la tosta está completamente fuera de la mesa.

La velocidad de rotación de la tosta depende del momento en que esta se descuelga de la mesa, y esto depende (entre otras cosas) de la frucción $F$. Un análisis cuantitativo es el siguiente. Si la fricción de la mesa es muy alta, entonces la tosta deberá sobresalir mucho antes de empezar a caer (es necesario que la fuerza que arrastra la tosta fuera de la mesa sea suficiente como para vencer la fricción que la mantiene pegada a la mesa). En este caso la velocidad angular $\omega$, que depende del momento angular $mg\,a\,\cos(\theta)$ será alta; al contrario, si la fricción es escasa, la tosta caerá en cuanto su centro de gravedad se haya alejado poco de la mesa ($\nu$ pequeño), y, siendo el momento angular menor, la velocidad de rotación será menor.

Matthews determina que la relación entre la velocidad de rotación y las demás cantidades es:

\begin{equation} \omega^2 = \frac{6g}{a} \frac{\eta}{1+3\eta^2} \cos{\theta} \end{equation}

La velocidad depende del ángulo a que la tosta se desconecta de la mesa. Si $\mu$ es el coeficiente de fricción, entonces la tosta se descuelga cuando el ángulo es

\begin{equation} \theta_0 = \tan^{-1} \frac{\mu}{1+9\eta^2} \end{equation}

Juntando todo, Matthews determina cuanto tiene que sobresalir la tosta para caerse con una velocidad de rotación suficiente para que al final de la caida la parte con la mantequilla quede arriba. Define $Q=h/a$ (el ratio entre la altura de la mesa y la longitud de la tosta) y $\alpha=\pi^2/12(R-2)$. Con estas definiciones, la tosta cae mantequilla arriba si, en el momento de la caída sobresale de

\begin{equation} \eta > \frac{1 - \sqrt{1-12\alpha^2}}{6\alpha} \end{equation}

En el caso de una tosta y una mesa de dimensiones normales, tenemos $h\sim{75}\mbox{cm}$ y $2a\sim{10}\mbox{cm}$, que nos da

\begin{equation} \eta>0.6 \end{equation}

Este es el valor crítico: si la tosta, en el momento de la caída, sobresale m\'as de un 60% de su media longitud, caerá mantequilla arriba; si sobresale menos caerá mantequilla abajo. Midiendo el valor de $\mu$ y haciendo experimentos, Matthews nota que los valores de $\eta$ en que la tosta se desconecta de la mesa son $\eta\sim{0.02}$ para el pan y $\eta\sim0.015$ para el pan tostado. Ninguno de los dos puede aguantar una eccentricidad de $0.6$: en ambos casos la tosta cae antes de haber conseguido una eccentricidad tal como para generar una velocidad angular $\omega$ que le permita de caer mantequilla arriba.

Murphy tenía razón.

En este análisis, Matthews considera que la velocidad horizontal de la tosta es cero. Esto, hablando estrictamente, no es posible: al principio la tosta está en la mesa y, si cae, es porque se ha acercado al borde, por tanto tiene que tener cierta velocidad horizontal. En un apartado del artículo se analiza el efecto de la velocidad horizontal. Resulta que para velocidades pequeñas el resultado anterior sigue válido. Es sólo si la velocidad horizontal es grande (mayor de unos $1.6m\cdot s^{-1}$) que su efecto empieza a hacerse sentir. Si la velocidad es muy grande, su efecto domina la dinámica, y la tosta caerá mantequilla abajo o mantequilla arriba con igual frecuencia.

Parece, por tanto, que si uno se da cuenta que la tosta está a punto de caer, lo mejor que puede hacer es darle un golpe muy fuerte con la mano: de esta manera maximizará la probabilidad que caiga mantequilla arriba.

En la última parte del artículo Matthews encuentra una rlación sorprendente entre la ley de Murphy y las constantes fundamentales de la naturaleza. Imaginemos unos seres inteligentes que viven en un planeta distinto de la tierra (lo suficientemente inteligentes como para hacer tostas con mantequillas y tener mesas). Vale para ellos la ley de Murphy? Podemos asumir que la gravedad es la misma que en la tierra (si no, todos los valores son simplente multiplicados por una constante, y se puede demostrar que el resultado final no cambia), por tanto todo depende de la altura de las mesas y esto, por otro lado, depende de la altura de estos seres.

Hay razones para asumir que el cerebro de estos seres está en la parte más alta de su cuerpo (en todos los animales complejos los ojos están cerca del cerebro, y hay muchas ventajas en tener los ojos en la parte más alta del cuerpo). Matthews modela estos seres como un cilindro con una esfera encima formada por algún tipo de polímero. La altura del ser debe ser tal que, en caso de caída, la probabilidad de romperse la cabeza es razonablemente baja. Jugando con las constantes de la naturaleza (desde la estructura fina de los electrones al radio de Bohr) Matthew concluye que estos seres no pueden ser más alto de tres metros. Notamos que el ser humano más alto de que se haya noticia (Robert Wadlow, 1918-1940) era alto 2.72m, respetando el límite.

Considerando que la altura de una mesa es más o menos la mitad de un ser humano, Matthews estima que un ser inteligente tiene una mesa alta como micho 1.5m. Aplicando otra vez el razonamiento anterior encuentra que una mesa de 1.5m es insuficiente para que la tosta haga una rotación que le permita caer mantequilla arriba.

La ley de Murphy no nos glpea sólo a nosotros: cualquier ser inteligente en el universo verá que sus tostas caen mantequilla abajo. Vale la pena reportar aquí la conclusión del artículo de Matthews:

We end by noting that, according to Einstein, God is subtle, but He is not malicious. That may be so, but His influence on falling toasts clearly leaves much to be desired.

Monday 28 November 2022

EL rigor en el uso de datos para apoyar un argumento

Últimanente he publicado, en una conocida red social he publicado varios mensajes en defensa de las moviilizaciones de los médicos de atención primaria en Madrid. Los médicos, cabe recordarlo, piden mejores condiciones de trabajo y la posibilidad de dar a los pacientes un servicio de calidad. Cabe recordar sus reivindicaciones principales:

  1. Agendas cerradas con un paciente cada 10 minutos. Ahora mismo las agendas tienen un paciente cada 6 minutos, lo que hace imposible proporcionar un servicio de calidad, especialmente si consideramos las urgencias y los médicos que en un día dado pueden estar de baja o de vacaciones
  2. Más pediatras. Madrid ha perdido 200 pediatras desde 2019, y ya hay varios centros de salud que no tienen pediatra en ningún turno
  3. Tiempo para la formación: actualmente la hora y media diaria que, por contrato, tienen para sesiones clínicas y formación está ocupada por pacientes, y los médicos tienen que estudiar en casa el fin de semana
  4. Tiempo para la docencia. Si no hay nadie para formar a los residentes que hacen su rotación en los centros de salud, no habrá la próxima generación de médicos
  5. Mejores contratos para los residentes. Si Madrid ofrece a los R4 que salen contratos basura de una semana o menos, otras CCAA le ofrecen contratos de tres años, los residentes seguirán marchándose. Cabe recordar que este año, de 230 R4 que terminaron la residencia en Madrid se quedaron sólo 27.
Pero el tema de este blog no es la reivindicación de los médicos, sino el uso que se hace de ciertas gráficas. Un contertulio argumenta, esencialmente en cada mensaje que escribo, que en realidad el problema no existe en cuanto la sanidad de Madrid es la mejor de España y, para confirmarlo, publica este diagrama (siempre el mismo):




Se trata de un buen compendio de todos los errores que se pueden hacer cuando se intenta usar datos para sostener un punto de vista. Veámoslos. 

  1. El punto más obvio, que salta a la vista, es que yo hablo de atención primaria y especificamente de condiciones de trabajo de los médicos. Los datos se refieren a listas de espera (por tanto no a condiciones de trabajo) y a especialistas y hospitales (por tanto no a atención primaria). Es decir, son completamente irrelevante en el contexto de mi argumento
  2. Yo hablo de condiciones laborales. Es relativamente fácil acortar las listas de espera obligando a los médicos a ver 60 o 70 pacientes al día. Esto quiere decir perjudicar la salud de los trabajadores y la calidad del servicio para conseguir mejorar unos indicadores. 
  3. Un fallo muy común en estos debates es publicar la "foto" de una gráfica sin poner un enlace al informe de donde se ha sacado. Hay quien pública enlaces a periódicos (algo que no se debería hacer por el riesgo del sesgo de confirmación) y hay quien publica sólo la foto. De esta manera es imposible evaluar los datos en cuanto no sabemos exactamente que se está midiendo, que criterios se han establecido o si la medida permite comparaciones.
  4. En este caso específico, por ejemplo, la Comunidad de Madrid calcula las espera para operarse desde el momento en que el paciente ve al anestesista, mientras otras CCAA las calculan desde el momento en que se introduce el nombre del paciente en el registro de espera. En estas condiciones, es posible comparar una comunidad consigo misma (es posible, por ejemplo, ver si las listas aumentan o se reducen de año en año), pero no es posible comparar comunidades. Se trata de detalles muy importantes si queremos hacer una  valoración racional. Lamentablemente se trata de mensajes que los periódicos no publican y que en las fotos de las gráficas no resultan.
Finalmente, es importante razonar en la base de datos, pero es importante que esos datos sean completos, que se ponga un enlace a las fuentes primarias y que estas fuentes aclaren las medidas que se usan y el contexto en que se derivan. Es importante ser rigurosos a la hora de usar datos, especialmente en un momento de crisis. Lamentablemente el uso de titulares de periódicos es la norma en las redes sociales, a pesar de que muchas veces esos titulares sean manipuladores

Monday 3 October 2022

Una posible definición de "Fiscalidad justa"

Definir que es un sistema fiscal "justo" no es una cuestión matemática, sino social y política. Si una persona cree, por ejemplo, que un sistema fiscal justo es uno en que los pobres pagan los impuestos y los ricos no, no hay mucho que un matemático le pueda objetar. Pero, si nos ponemos de acuerdo sobre cierto principio, las matemáticas nos pueden ayudar a hacer ciertas consideraciones, por lo menos a nivel aproximado y cualitativo. Propongo, como posible definición, la siguiente:

Un sistema fiscal es justo si afecta a la calidad de vida de todo el mundo de la misma manera.

Se trata de una definición sólo aparentemente sencilla. Antes de analizarla, quiero hacer una observación metodológica. En varios puntos de estas consideraciones habrá que elegir entre alternativas sin tener toda la información que nos permita una elección sin incertidumbre. Dado que yo apoyo una fiscalidad fuertemente progresiva, en todos estos casos eligiré la alternativa que pone mi punto de vista más en desventaja. Es decir, cuando se trate de elegir bajo incertidumbre, elegiré la alternativa que da a mis "adversarios" la mayor ventaja.

Y ahora a analizar la definición. Un primer problema es determinar que tipo de "efecto" sobre la calidad de vida nos interesa. Los impuestos financian el estado de bienestar, por tanto el resultado neto de pagar impuesto es un aumento de la calidad de vida, y no una reducción. Los efectos de los servicios que se pagan con los impuestos (sanidad, educación, pensiones, carreteras, policía, bomberos, etc.) son tales que pagar impuesto aumenta la calidad de vida. En este caso, no nos interesa considerar este efecto: queremos saber cual es el efecto sobre la calidad de vida del hecho de pagar impuestos, que _reducción_ de la calidad de vida se causa haciendo que las personas paguen impuestos. Es decir: en mis consideraciones olvidará el impacto sobre la calidad de vida de los servicios públicos que se pagan con los impuestos, y consideraré sólo el impacto negativo que deriva de pagar los impuestos y por tanto de tener menos dinero.

Con esta clarificación, la definición de arriba se reduce a la siguiente: un sistema fiscal es justo si la fracción de calidad de vida que se pierde como consecuencia del dinero que se paga en impuestos es igual para todos. Si llamamos $p$ esta reducción ($0\le p \le 1$), esto quiere decir que una persona que tiene una calidad de vida $q$ verá su calidad reducida a $(1-p)q$ (recuerdo que si calculamos el efecto de los servicios que se consiguen gracias a los impuestos, la calidad de vida aumenta, pero aquí no estamos considerando esos efectos: sólo consideramos los efectos del dinero que se gasta en impuestos).

La calidad de vida es, entre otras cosas, una función del dinero que una persona gana (escribiermos $q=f(m)$, donde $m$ está por money), pero no es una función lineal. Si una persona no tiene nada de dinero y de repente empieza a ganar un millón de Euros al año, su calidad de vida aumentará drámaticamente. Por otro lado, si una persona que gana 100 millones al año pasa a ganar 101, su calidad de vida quedará esencialmente la misma. Los efectos son muy diferentes, a pesar de que en los dos casos las ganancias han aumentado en un millón.

¿Cómo varia la calidad de vida en función de las ganancias? ¿Cuál es la forma de la función $f(m)$? Una medida que se usa mucho en estos casos es el Subjective Well Being: la percepción que una persona tiene de su propio bienestar como función de la renta. La figura siguiente muestra la variación a nivel internacional, por países, con los datos de varios países y la curva que los aproximas (notamos que España está un poco por debajo de la línea: los españoles se "sienten" peor que otros países con la misma renta---probablemente la vieja costumbre latina de quejarse de todo...).

Otra iliustración de la misma medida, con datos y en escala diferente, es la siguiente:

Está claro que esta medida no depende sólo de las ganancias: circunstancias sociales también influyen. Una demostración es la gráfica siguiente:

Aquí veamos la medida de "Happiness" (Es la misma medida que el bienestar, pero a los Americanos el "pursuit of happiness" les influye mucho, y prefieren llamar así la medida) en función de las ganancias, en dolares deflactados (Se ha puesto de moda en España hablar de "deflactar" el IRPF; quien habla de estas cosas debería echar un ojo a la definición de "deflactar"), en los años 1970s y en los 1990s. Parece que, con el mismo dinero al neto de la inflación (sí: deflactar significa esto) la gente se consideraba más feliz en los años 1970s que en los 1990s.

Las curvas de las figuras anteriores muestran dos comportamientos diferente. En la segunda, parece que la calidad de vida llegue a saturación, es decir, hay un límite que, por mucho dinero que se gan, no se va a rebasar. En la segunda parece que lacalidad de vida pueda seguir aumentando sin límite aún si, a medida que la ganancia aumenta, la curva crece menos. Fiel a mi elección metodológica eligiré la alternativa menos favorable a un sistema fiscal proporcional, y asumiré que la calidad de vida pueda aumentar sin límite a medida que una persona gana más dinero.

Las curvas son consistente con la hipótesis siguiente: el aumento de la calidad de vida no es proporcional al aumento absoluto de las ganancias, sino a su aumento relativo. Matemáticamente, esto se expresa diciendo que si una persona gana $m$ Euros al año y sus ganancias se incrementan en $\Delta{m}$ Euros al año, el incremento de su calidad de vida, $\Delta{q}$ es dado por la relación

\begin{equation} \Delta q = \frac{\Delta m}{m} \end{equation}

Transformando esta ecuación de diferencias en una ecuación diferencial y resolviéndola, determinamos que la relación entre las ganancias $m$ y la calidad de vida $q$ es

\begin{equation} q = \log\,m \end{equation}

Una persona gana una cantidad de dinero $m$ y consecuentemente tiene una calidad de vida $q=\log\,m$. Si, tras los impuestos, la cantidad de dinero que le queda es $m'$, su calidad de vida será $q'=\log\,m'$. Si queremos que para todos la calidad de vida se reduzca de una misma fracción $p$, tiene que ser

\begin{equation} q' = (1-p)q \end{equation}

Es decir

\begin{equation} \log\,m' = (1-p)\log\,m \end{equation}

En la figura siguiente vemos un ejemplo en que dos personas con ganancias $m_1$ y $m_2$ (con $m_2>m_1$) tienen calidades de vida $q_1$ y $q_2$ que se reducen en la misma fracción (en este caso, un $10\%$).

Notamos que la persona que gana más puede renunciar a un porcentaje mayor de sus ganancia para conseguir una misma reducción en porcentaje de su calidad de vida. La relación anterior nos dice que una reducción de una fracción $p$ de la calidad de vida se consigue si tras lo impuestos a la persona le queda una ganancia

\begin{equation} m' = m^{1-p} \end{equation}

El porcentaje de impuestos que una persona con ganancias $m$ tiene que pagar para conseguir una reducción relativa de calidad de vida $p$ es por tanto:

\begin{equation} \mbox{TAX} = 100\frac{m-m'}{m} = 100 \frac{m - m^{1-p}}{m} = 100(1 - \frac{1}{m^p}) \end{equation}

Esta curva es representada en la figura siguiente

Por tanto el sistema fiscal justo, en el sentido de la definición que hemos dado, es un sistema proporcional: el porcentaje de sueldo que se paga en impuestos crece a medida que crecen las ganancias.

Se trata, naturalmente, de una curva teórica a que hay que añadir consideraciones de carácter social. Por ejemplo, para los sueldos más bajos, incluso una pequeña pérdida de calidad de vida puede ser deleteria, por tanto los sueldos más bajos no deberían pagar impuestos (Milton Friedman, uno de los fundadores del neoliberalismo, iba más allá, llegando a hipotizar una negative tax: cierto nivel de sueldo no pagará impuestos y sueldos menores pagarán un impuesto negativo, es decir: recibiran dinero en lugar de pagarlo), por tanto la curva no empiezará con sueldos cero. La curva, para sueldos muy altos, satura cuando los impuestos llegan muy cerca del 100\%, algo que en la práctica es imposible de poner en marcha.

Sin embargo el resultado general mantiene, creo, su validez: dada la relación no lineal entre ganancias y calidad de vida, si queremos un sistema que pida a todos renunciar a una fracción igual de su calidad de vida, el sistema tiene que ser progresivo: quien más gana tiene que pagar un porcentaje más alto de impuestos.

La curva logarítmica que hemos usado se basa en ciertas hypótesis que pueden no ser del todo exactas. Pero, sea cual sea la forma exacta de la curva, esta tiene dos propiedades:
  1. La curva es creciente (se asume que si el dinero que tenemos aumenta, nuestra calidad de vida no se reduce)
  2. La curva crece menos que una función lineal (esto deriva de nuestra consideración sobre el efecto de ganar un millón: pasar de ganar cero a ganar un millón supone un cambio en calidad de vida mayor que pasar de ganar 100 millones a ganar 101)
Es posible demostrar (la demonstración no es difícil, pero es un poco técnica) que estas dos propiedades son suficientes para que el criterio de justicia que estamos utilizando implique un sistema fiscal progresivo.

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